→ Quantum Technology Atlasטכנולוגיות · מכונות · ארכיטקטורות · ארגוניםEnglishРусский

קודים לגילוי שגיאות ([[4,2,2]], קוד משטח d = 2, iceberg, מרחב-זמן) code_detect

קודים המסמנים כל תקלה בודדת ומשליכים את הריצה במקום לתקן אותה: [[4,2,2]], קוד המשטח במרחק 2, קוד ה-iceberg [[k+2,k,2]] ובדיקות מרחב-זמן על מעגלי קליפורד.

קודים לגילוי שגיאות ([[4,2,2]], קוד משטח d = 2, iceberg, מרחב-זמן)

code_detect · שכבה 7 קוד · הודגם · מאז 2017
פתח במפה

קודים המסמנים שגיאה ומשליכים את הריצה במקום לתקן אותה — קוד ה-[[4,2,2]], קוד המשטח במרחק 2, קודי מרחב-זמן: השלב הראשון בסולם תיקון השגיאות, שהורץ על חמש מכונות מהמרשם, כששיעור הקבלה הוא המחיר.

תקציר ←

מקורות מרכזיים

[673] C. N. Self, M. Benedetti, and D. Amaro, “Protecting expressive circuits with a quantum err… · 2024
[710] N. Delfosse and A. Paetznick, “Spacetime codes of Clifford circuits,” arXiv:2304.05943, Ap… · 2023
[711] N. M. Linke et al., “Fault-tolerant quantum error detection,” Sci. Adv., vol. 3, no. 10, A… · 2017
[712] C. Vuillot, “Is error detection helpful on IBM 5Q chips?,” Quantum Inf. Comput., vol. 18, … · 2018
[713] C. K. Andersen et al., “Repeated quantum error detection in a surface code,” Nat. Phys., v… · 2020

מרחב התכן — תכונות

(a) זיקת הנושא
ביניים / בלתי תלוי בנושא
(b) זמן · שזירה
—
(c) קריאה
—
(d) ניידות
חיווט סטטי לשכנים קרובים
(e) בקרה
—
(f) מבנה השגיאה
פאולי סטוכסטית
(g) ייצור
—

מרחב ההערכה — תכונות מתוארכות

אין תכונות מתוארכות

עלות הבחירה בדיעבד גדלה עם גודל המעגל; אין דיכוי עם המרחק.

שחקנים ויעדים — ביאורים

סריג טרנסמונים עם מצמדים ברי-כוונון (חלופית) — IBM (Heron, Nighthawk), Google (Willow), Rigetti, IQM, OQC, USTC/Zhejiang, Fujitsu/RIKEN, QuantWare · G2 G3 G4
יונים לכודים — QCCD (הובלה בין אזורים) (חלופית) — Quantinuum (H1, H2, Helios, Sol), Universal Quantum · G2 G3 G6 G7
יונים לכודים — מלכודת פאול ליניארית עם מיעון לייזר פרטני (חלופית) — IonQ (Aria, Forte, Tempo), AQT, Qudoor, Maryland/Duke (EURIQA), Innsbruck · G2 G3 G6 G7

קשתות

חלופות: קוד המשטח המסובב (+ גרסאות רתומות)
° אחת מכמה שהיו מתאימות · הדרך המקובלת, לא דרישה מחייבת

בשימוש: 12 מכונות (7 ראשית · 5 חלופית)

↗ כרטיס המרשם שלה · מאמר / מוצר / עיתונות: קישורים שבהם המכונה נזכרת בשמה (הייחוס נבדק ב-20 בספטמבר 2026)

תמונות

כל תמונה מלווה בתיאור של מה שהיא מראה ובשורת הקרדיט שלה.

Fig. 1 — Figure 1: (a) Schematic of the experimental design: we encode a logical Bell state χ using the [[4,2,2]][[4,2,2]] code and let it undergo either fre…
Six-panel diagram of an error-detection experiment with the four-qubit [[4,2,2]] code: a circuit that encodes a logical Bell state, lets it evolve freely or under logical dynamical decoupling, then decodes and measures it; the set of logical errors; a table linking measured four-bit strings to Bell states; and pulse patterns on four physical qubits with their logical equivalents. From arXiv paper 2503.14472 by Vezvaee, Tripathi, Morford-Oberst, Butt, Kasatkin and Lidar, run on transmon qubits per its title. The code cannot correct errors: runs whose outputs fall outside its valid codewords are flagged and discarded. “Fig. 1 — Figure 1: (a) Schematic of the experimental design: we encode a logical Bell state χ using the [[4,2,2]][[4,2,2]] code and let it undergo either free…” by Arian Vezvaee, Vinay Tripathi, Mario Morford-Oberst, Friederike Butt, Victor Kasatkin, Daniel A. Lidar, arxiv.org/abs/2503.14472, CC BY 4.0 (creativecommons.org/licenses/by/4.0/)
Fig. 1 — Fig. 1: Measurement-free logical state teleportation with the [[4, 1, 2]]-code.a Stabilizers SZ, SX and logical operators of the [[4, 1, 2]]-code. b…
Five-panel strip on logical operations without mid-circuit measurement: the four-qubit [[4,1,2]] error-detecting code with its checks and logical operators; logical state preparation above 99 %; a conventional teleportation circuit using measurement and feedback; and 'coherent' versions of teleportation and a logical Hadamard in which controlled gates replace the measurements and the auxiliary qubits are simply reset, reaching 86–95 %. From a 2026 Nature Communications paper by Friederike Butt, Ivan Pogorelov, Thomas Monz, Markus Müller and co-authors. It shows why fast unconditional reset matters: in measurement-free schemes it is the only way entropy leaves the processor. “Fig. 1 — Fig. 1: Measurement-free logical state teleportation with the [[4, 1, 2]]-code.a Stabilizers SZ, SX and logical operators of the [[4, 1, 2]]-code. b…” by Butt et al., www.nature.com/articles/s41467-026-68533-x, CC BY 4.0 (creativecommons.org/licenses/by/4.0/)
Fig. 3 — Fig. 3: QND measurement framework and quantum processing unit characterization.a, Schematic showing the overall protocol for loading, initializing,…
Seven-panel paper figure on a sparse array of electron-spin qubits in silicon quantum dots: circuits for loading, initialising, operating and reading out data spins with an ancilla spin that is shuttled between them in conveyor mode and measured by Pauli spin blockade; coherence time against the number of refocusing pulses; exchange coupling against barrier-gate pulse; and a star diagram of measured fidelities (about 97–98 % per shuttle, 99.97 % for single-qubit and 90–95 % for two-qubit gates). From a 2026 Nature paper by Brennan Undseth, Lieven Vandersypen and co-authors. It shows spin shuttling used as the connectivity of a working processor. “Fig. 3 — Fig. 3: QND measurement framework and quantum processing unit characterization.a, Schematic showing the overall protocol for loading, initializing, measuring…” by Undseth et al., www.nature.com/articles/s41586-026-10766-3, CC BY 4.0 (creativecommons.org/licenses/by/4.0/)
code_detect · layer 7 קוד · centrality 8 · demonstrated · since 2017 · updated 2026-09-30

קודים לגילוי שגיאות ([[4,2,2]], קוד משטח d = 2, iceberg, מרחב-זמן)

קודים המסמנים כל תקלה בודדת ומשליכים את הריצה במקום לתקן אותה: [[4,2,2]], קוד המשטח במרחק 2, קוד ה-iceberg [[k+2,k,2]] ובדיקות מרחב-זמן על מעגלי קליפורד.

Verdict. הגילוי מעלה את נאמנות המעגל בבחירה בדיעבד עד 236× מעל המעגל החשוף, בשיעור קבלה הדועך מעריכית עם נפח המעגל וללא מרחק שאפשר להגדיל. כל 12 המכונות במרשם הנושאות את הטכנולוגיה רשומות בזכות ריצות גילוי; מכונות היונים, שבהן רצות הריצות הגדולות ביותר, נושאות אותה רק כחלופה לקודי הקצב הגבוה שלהן.

Key references

[[n,k,d]] = n קיוביטים פיזיים הנושאים k קיוביטים לוגיים במרחק d; שיעור הקבלה = החלק מהריצות שנשמר לאחר בחירה בדיעבד; Λ = מקדם דיכוי השגיאות לכל צעד במרחק הקוד; RB = בחינת ביצועים אקראית (randomised benchmarking); CZ = שער Z מבוקר; G1–G7 = מחלקות היעדים של הדוח (ראו "שחקנים וכלכלה").

זהות ומוצא

קוד מייצב במרחק 2 הופך כל שגיאה חד-קיוביטית לסינדרום לא-טריוויאלי אך אינו יכול למקם אותה, ולכן הריצה מושלכת (נבחרת בדיעבד) ולא מתוקנת. החברים: [[4,2,2]], עם הבדיקות XXXX ו-ZZZZ; קוד המשטח המסובב במרחק 2, [[4,1,2]]; קוד ה-iceberg של Quantinuum, [[k+2,k,2]] D[673]; וקודי מרחב-זמן, המתייחסים לביטי התוצאה של מעגל קליפורד כאל קוד ומוסיפים בדיקות הלוכדות תקלות בכל מקום במעגל S[710]. גילוי סובלני לתקלות קיים מאז 2017: [[4,2,2]] על יונים לכודים D[711] ועל שבבי הענן בני חמשת הקיוביטים של IBM D[712]. אחריו הגיע קוד המשטח d = 2 על טרנסמונים ב-ETH Zurich D[713] וב-QuTech D[714], ו-Google הריצה ניסוי גילוי קטן בקוד המשטח לצד קודי החזרה שלה D[715].
אדיש לנושא הקיוביט; חיווט סטטי; אין בקרה או קריאה משלו; שגיאות פאולי סטוכסטיות בלבד — דליפה ואובדן זקוקים לדגלים משלהם.

פיזיקה וגבולות

תקלה אחת הופכת את תוצאת הבדיקה, ולכן שגיאה לוגית שאינה מתגלה דורשת שתיים: אי-הנאמנות בבחירה בדיעבד מתנהגת כ-O(ε²), לא כ-O(ε) — וכך גבר מצב הקסם המקודד של IBM על כל זוג קיוביטים פיזיים באותו שבב D[716]. המחיר הוא שיעור הקבלה. עם N מקומות תקלה, שבכל אחד מהם מתרחשת תקלה הניתנת לגילוי בהסתברות p, שיעור הקבלה ≈ e^(−pN), ותקורת הדגימה, ההופכי שלו D[717], היא e^(pN) — ~2×10⁴ ריצות לכל דגימה שנשמרת ב-p = 10⁻³, N = 10⁴ — בעוד השגיאה השיורית גדלה כ-~Np² S. לקוד קבוע במרחק 2 אין סף ואין Λ; נפח המעגל, לא גודל הקוד, קובע את המעריך. הסיבובים ב-iceberg מהודרים באופן שאינו סובלני לתקלות, ומניחים לחלק מהתקלות הבודדות לעבור D[673]. סף חוזר רק כאשר קודי גילוי משורשרים והרמות העליונות מתקנות: שיטת C4/C6 של Knill סיפקה ראיות לחישוב בשגיאה של מעל 3% לשער S[718], וקודי iceberg משורשרים מדכאים את הבחירה בדיעבד בהעלאת המרחק D[105].

מצב ההנדסה העדכני

טבלה
שנה נתון מי תג+מפתח
2017-10 קידוד סובלני לתקלות של [[4,2,2]] ומדידת סינדרום Maryland, יונים לכודים D[711]
2019-02 בחינת ביצועים אקראית לוגית ב-[[4,2,2]]: אי-נאמנות דו-קיוביטית 5.8(2)% → 0.60(3)% Harper & Flammia, הענן של IBM D[719]
2020-06 קוד משטח d = 2, 7 טרנסמונים, אתחול לוגי 96.1% ETH Zurich D[713]
2024-01 קוד ה-iceberg: 8 קיוביטים לוגיים, עד 256 שכבות, נפח קוונטי לוגי 2⁸ Quantinuum H1-2 D[673]
2025-04 בדיקות מרחב-זמן: 50 קיוביטים לוגיים, 2,450 שערי CZ, שיפור נאמנות של עד 236× IBM Heron (ibm_kingston) D[717]
2025-11 קוד משטח d = 2: CNOT טרנסוורסלי 88.9(5)%, מצב בל לוגי 79.4–79.5% Origin Wukong D[720]
2026-02 iceberg ו-iceberg משורשר: 48–94 קיוביטים לוגיים מעבר לנקודת האיזון Quantinuum Helios D[105]
2026-09 דגימה בקידוד מרחב-זמן: 76 קיוביטים פיזיים, דיכוי של 10× בשגיאת השערים, נאמנות ≥ 0.349 (95%) IBM/UChicago D[46]

המיטב שהודגם נכון ל-2026-09-26: 94 הקיוביטים הלוגיים של Helios בגילוי iceberg D[105]. האיבר השולט: שיעור הקבלה, שמודפס לעתים רחוקות לצד נתון הכותרת.

ייצור, חומרים ושרשרת האספקה

דבר אינו מיוצר עבור הגילוי; שרשרת האספקה שלו היא זו של המכונה המארחת. הקישוריות מכריעה את בחירת הקוד: על סריג heavy-hex משתמש [[4,2,2]] בקיוביטי דגל — קיוביטי עזר נוספים הלוכדים תקלות המתפשטות אל מחוץ למעגל סינדרום D[716]; בדיקות הזוגיות הגלובליות של iceberg מתאימות למלכודות יונים בקישוריות כל-לכל D[673]; בדיקות מרחב-זמן מאותרות בחיפוש תחת הקישוריות שיש לשבב, תהא אשר תהא D[717].

בקרה, קריאה ועומס הקלט-פלט

הגילוי זקוק לביטי סינדרום, לא למפענח בלולאה: ההשלכה יכולה לבוא אחרי הריצה, ולכן אין תקציב השהיה, אלא אם ההכנה אדפטיבית D[716]. Wukong קראה את המייצבים שלה מתוך מדידת הנתונים הסופית בלבד, ללא קריאה באמצע המעגל D[720]. העומס הוא היריות: ההזרקה על ibm_fez שמרה 36.28(9)% מהריצות, ~2.8 ריצות למצב D[721]; זמן ה-QPU גדל כ-e^(pN) S.

תפקיד במחסנית

משבצת 7 בשלוש ארכיטקטורות: "סריג טרנסמונים עם מצמדים ברי-כוונון"; "יונים לכודים — QCCD (הובלה בין אזורים)"; "יונים לכודים — מלכודת פאול ליניארית עם מיעון לייזר פרטני". הגילוי דורש מדידת סינדרום (קריאה דיספרסיבית בטרנסמונים). הוא מספק מצבים ושערים לוגיים בבחירה בדיעבד, חזרה גנרלית ראשונה על לוגיקה טרנסוורסלית D[720], ואת שלב ההשלכה בהכנת מצבי קסם: ההזרקה על ibm_fez נתנה |HL⟩ 0.8806(2) ו-|TL⟩ 0.8665(3), מעל ספי הזיקוק 0.854 ו-0.827 D[721]. הוא מוחלף בידי קוד המשטח המסובב — תיקון במקום גילוי. סבילות תקלות אלגוריתמית אינה לוקחת ממנו דבר נוסף: הערובה שלה מעריכית במרחק S[152].

המרשם מונה 12 מכונות הנושאות את הטכנולוגיה: 7 כטכנולוגיה ראשית ו-5 כחלופית. מכונות מוליכי-העל שביניהן נושאות אותה כולן כטכנולוגיה ראשית. IBM Quantum Heron r2 D[721], IBM Quantum Heron r3 (ibm_pittsburgh) D[46], Origin Wukong (3rd gen) D[720] ו-IQM six-qubit star QPU (Deneb-class), בשגיאה לוגית של 0.25(2)–0.91(3)% למחזור [[4,2,2]] D[488], תואמות את הראיות שלהן; Origin Wukong 102 רשומה בהסקה מהמאמר על Wukong. IBM Quantum Falcon r5.11 נחשבת מכונה נושאת בזכות מצב הקסם [[4,2,2]] על ibm_peekskill D[716], ולא בזכות קוד תת-המערכת שלה במרחק 3, שפוענח בזיווג כשהבחירה בדיעבד הוחלה רק על דליפה (4.37–4.91% מהיריות לסבב) — זהו תיקון D[722]. Rigetti Ankaa-2 אינה נושאת את הטכנולוגיה: ניסוי היציבות שלה על 8 קיוביטים פוענח בזמן אמת, ולא דווחה בחירה בדיעבד D[723]. המכונות הנושאות אותה כטכנולוגיה חלופית הן מכונות יונים: System Model H1 (H1-1), בזכות ריצת ה-iceberg על H1-2 D[673], ו-Helios D[105]; ריצת ה-iceberg על H2-1 (עד 20 קיוביטים לוגיים) D[724] אינה רשומה. גם התקן ספין בנקודות קוונטיות נושא אותה כטכנולוגיה ראשית: HRL exchange-only silicon spin processor (18 EO qubits from 54 quantum dots). בכך נענה הפער G-detect7: משבצת 7 של הטרנסמונים מנתה רק קודים מתקנים, בעוד שמה שסופק בפועל היה גילוי.

ראיות — כיצד נמדדו המספרים

כל נתון כותרת כאן מותנה בשיעור הקבלה: ה-0.60(3)% של Harper & Flammia הוא בחינת ביצועים אקראית לוגית בתוך מרחב הקוד D[719]; השערים של Wukong והמצבים של ibm_fez נמדדו בבחירה בדיעבד D[720]D[721]. שיעור הקבלה צריך לעמוד לצד כל נאמנות, וראוי שקו הבסיס הפיזי יקבל את אותה השלכה. Microsoft ו-Quantinuum מדווחות על תיקון ועל גילוי באותם קודים, 11× עד 800× מתחת לקווי הבסיס הפיזיים D[667]. הגילוי יכול גם לשמש להסמכה: הדגימה בקידוד מרחב-זמן של IBM חוסמת את הנאמנות מתוך סטטיסטיקת הסינדרומים, באופן תלוי-התקן אך תחת הנחות חלשות יותר מאלה של מדדי ביצועים עקיפים D[46] — נאמנות, לא קושי חישובי: המעגל בן 70 הקיוביטים של גרסה 1 (חסם 0.284) סומלץ באופן קלאסי ב-37.3 min על 256 מעבדי GPU מסוג H100, עם log-XEB של 0.350 D[47]; גרסה 3 (2026-09-02) מדווחת על 76 קיוביטים פיזיים ועל חסם של 0.349 D[46].

לא פורסם: שיעור הקבלה (acceptance) בהרצות ה-iceberg של Helios על 94 קיוביטים לוגיים.

שחקנים וכלכלה

מי.
ארגון תפקיד מדינה מה בדיוק הם עושים בטכנולוגיה זו ראיות
IBM מפתח ארה״ב מצב קסם [[4,2,2]] על Falcon; בדיקות מרחב-זמן על Heron D[716]D[717]
Quantinuum מפתח ארה״ב/בריטניה קוד ה-iceberg על H1-2, H2-1 ו-Helios D[673]D[105]
Origin Quantum מפתח סין ערכת שערים לוגיים בקוד משטח d = 2 על Wukong D[720]
IQM מפתח פינלנד [[4,2,2]] על מעבד בטופולוגיית כוכב D[488]

כספים. נכון ל-2026-09-26 אין פריט כספי מתוארך הייחודי לקודים לגילוי שגיאות; משלמים עליהם בתוך תקציבי מכונות ומחקר.

שוק ושרשרת אספקה. איש אינו מוכר גילוי; הספקים מוכרים זמן QPU, שהגילוי מכפיל פי ההופכי של שיעור הקבלה. G2 משלם עליו — IBM מדווחת על תקורת דגימה נמוכה מזו של הפחתת שגיאות D[717] — ו-G3 משלם עליו רק כחזרה גנרלית וכהשלכה בהכנת מצבים.

קניין רוחני ותקנים. נכון ל-2026-09-26 לא נמצאו משפחת פטנטים או תקן דיווח ייחודיים לגילוי; הקודים פורסמו D[673]S[710].

מפות דרכים ועמידה בהבטחות. אף מפת דרכים של ספק אינה קובעת אבן דרך של גילוי. Quantinuum עברה מ-iceberg במרחק 2 (2024) ל-iceberg משורשר במרחק 4 (2026) בתוך משפחת קודים אחת D[673]D[105].

פרשנות אסטרטגית. הגילוי הוא הצעד הכן מ-NISQ אל תיקון שגיאות קוונטי (QEC): קידוד, הכנה סובלנית לתקלות ושערים לוגיים במחיר השלכה מוצהר, בלי טענה להגדלה. הוא מיטיב עם פלטפורמות שהנאמנות שלהן שומרת את pN קטן — הריצות הגדולות ביותר הן על יונים D[105] — ונותן לספקי הטרנסמונים נתיב ברמת המהדר למעגלי G2 טובים יותר. הוא מערער רק דיווח הקורא לבלוק במרחק 2 קיוביט לוגי סובלני לתקלות.

תחזית ושאלות פתוחות

לאשר אם עד 2027-12-31 ריצת דגימה שנאמנותה מוסמכת בגילוי תחזיק חסם נאמנות מעל 0.3 על מעגל ששום שיטה קלאסית שפורסמה אינה משחזרת בתוך שבוע; להוריד בדרגה, למעמד היסטורי, אם עד 2028-12-31 הכנת מצבי קסם ומעגלי תועלת על טרנסמונים ועל יונים ירוצו עם תיקון, לא עם השלכה. שאלות פתוחות. (1) באיזו נקודה משתווה עלות הדגימה של הגילוי לזו של ביטול השגיאות ההסתברותי, ב-100–150 קיוביטים? (2) כמה מהשיפור שורד מול קו בסיס שמקבל את אותה השלכת דליפה? (3) האם בדיקות מרחב-זמן יכולות לצאת ממשטר קליפורד, שבו הבדיקות התקפות מידלדלות מעריכית D[717]? (4) איזה שיעור קבלה שומרות ריצות ה-iceberg של 94 הקיוביטים ב-Helios בעומק רב? (5) האם גילוי משורשר הוא נתיב זול יותר לסבילות מוקדמת לתקלות על שבבים דו-ממדיים מאשר זיכרונות של קוד המשטח?

מקורות
  1. [46] S. Martiel et al., “Sampling hard circuits with verifiably high fidelity,” arXiv:2607.25941, Jul. 2026. [D]
  2. [47] H. Manabe, H. Gu, and F. Pan, “Classical Simulation and Design Frontiers for IBM's Doped Clifford Sampling Experiment,” arXiv:2608.13110, Aug. 2026. [D]
  3. [105] S. Dasu et al., “Computing with many encoded logical qubits beyond break-even,” arXiv:2602.22211, Feb. 2026. [D]
  4. [152] H. Zhou et al., “Low-Overhead Transversal Fault Tolerance for Universal Quantum Computation,” Nature, vol. 646, no. 8084, pp. 303–308, 2025, doi: 10.1038/s41586-025-09543-5. arXiv:2406.17653. [S]
  5. [488] F. Vigneau et al., “Quantum error detection in qubit-resonator star architecture,” arXiv:2503.12869, Mar. 2025. [D]
  6. [667] A. Paetznick et al., “Improved quantum processor logical error rates via correction and detection,” Nature, vol. 654, no. 8118, pp. 349–355, Jun. 2026, doi: 10.1038/s41586-026-10628-y. [D]
  7. [673] C. N. Self, M. Benedetti, and D. Amaro, “Protecting expressive circuits with a quantum error detection code,” Nat. Phys., vol. 20, no. 2, pp. 219–224, Jan. 2024, doi: 10.1038/s41567-023-02282-2. arXiv:2211.06703. [D]
  8. [710] N. Delfosse and A. Paetznick, “Spacetime codes of Clifford circuits,” arXiv:2304.05943, Apr. 2023. [S]
  9. [711] N. M. Linke et al., “Fault-tolerant quantum error detection,” Sci. Adv., vol. 3, no. 10, Art. no. e1701074, Oct. 2017, doi: 10.1126/sciadv.1701074. arXiv:1611.06946. [D]
  10. [712] C. Vuillot, “Is error detection helpful on IBM 5Q chips?,” Quantum Inf. Comput., vol. 18, no. 11&12, pp. 949–964, 2018. arXiv:1705.08957. [D]
  11. [713] C. K. Andersen et al., “Repeated quantum error detection in a surface code,” Nat. Phys., vol. 16, no. 8, pp. 875–880, Jun. 2020, doi: 10.1038/s41567-020-0920-y. arXiv:1912.09410. [D]
  12. [714] J. F. Marques et al., “Logical-qubit operations in an error-detecting surface code,” Nat. Phys., vol. 18, p. 80, 2022, doi: 10.1038/s41567-021-01423-9. arXiv:2102.13071. [D]
  13. [715] Z. Chen et al., “Exponential suppression of bit or phase errors with cyclic error correction,” Nature, vol. 595, pp. 383–387, Jul. 2021, doi: 10.1038/s41586-021-03588-y. [D]
  14. [716] R. S. Gupta et al., “Encoding a magic state with beyond break-even fidelity,” Nature, vol. 625, pp. 259–263, Jan. 2024, doi: 10.1038/s41586-023-06846-3. arXiv:2305.13581. [D]
  15. [717] S. Martiel and A. Javadi-Abhari, “Low-overhead error detection with spacetime codes,” arXiv:2504.15725, Apr. 2025. [D]
  16. [718] E. Knill, “Quantum computing with realistically noisy devices,” Nature, vol. 434, pp. 39–44, Mar. 2005, doi: 10.1038/nature03350. arXiv:quant-ph/0410199. [S]
  17. [719] R. Harper and S. T. Flammia, “Fault-Tolerant Logical Gates in the IBM Quantum Experience,” Phys. Rev. Lett., vol. 122, no. 8, Art. no. 080504, Feb. 2019, doi: 10.1103/PhysRevLett.122.080504. arXiv:1806.02359. [D]
  18. [720] J. Zhang et al., “Demonstrating a universal logical gate set in error-detecting surface codes on a superconducting quantum processor,” npj Quantum Inf., vol. 11, Art. no. 177, Nov. 2025, doi: 10.1038/s41534-025-01118-6. [D]
  19. [721] Y. Kim, M. Sevior, and M. Usman, “Magic state injection on IBM quantum processors above the distillation threshold,” Sci. Rep., vol. 16, Art. no. 11189, Feb. 2026, doi: 10.1038/s41598-026-40381-1. arXiv:2412.01446. [D]
  20. [722] N. Sundaresan et al., “Demonstrating multi-round subsystem quantum error correction using matching and maximum likelihood decoders,” Nat. Commun., vol. 14, Art. no. 2852, May 2023, doi: 10.1038/s41467-023-38247-5. [D]
  21. [723] L. Caune et al., “Demonstrating real-time and low-latency quantum error correction with superconducting qubits,” Nat. Commun., vol. 17, Art. no. 7383, Jun. 2026, doi: 10.1038/s41467-026-73331-6. arXiv:2410.05202. [D]
  22. [724] Z. He, D. Amaro, R. Shaydulin, and M. Pistoia, “Performance of quantum approximate optimization with quantum error detection,” Commun. Phys., vol. 8, Art. no. 217, May 2025, doi: 10.1038/s42005-025-02136-8. arXiv:2409.12104. [D]